Правильно: запрошую на мій день народження. У словосполученні є головне та залежне слово. Головне слово (від якого можна поставити питання до залежного) впливає на узгодження відмінка, роду та числа. У словосполученні “мій день народження” головне слово – день (м.21 груд. 2019 р.